Produit scalaire dans le plan

Exercice 1

Soit \(\text A\text B\text C\) un triangle équilatéral de côté de longueur \(a\) .
Exprimer de deux manières différentes le produit scalaire \(\overrightarrow{\text A\text B}\cdot\overrightarrow{\text A\text C}\) .

Exercice 2

On donne trois points \(\text A\) , \(\text B\) et \(\text C\) du plan tels que \(\text A\text B=5\) , \(\text A\text C=6\) et  \(\overrightarrow{\text A\text B}\cdot\overrightarrow{\text A\text C} = 15\) .
Déterminer une mesure, au degré près, de l'angle \(\widehat{\text B\text A\text C}\) .

Exercice 3

Soit \(\text A\text B\text C\text D\) un losange dont les diagonales sont telles que  \(\text A\text C = 8\) cm et \(\text B\text D = 6\) cm.
Le produit scalaire \(\overrightarrow{\text A\text B}\cdot\overrightarrow{\text B\text D}\) vaut :
a. \(30\)                     b. \(-2\)                      c. \(-18\)                    d. \(7\)

Exercice 4

Soit \(\text A\text B\text C\text D\) un trapèze rectangle tel que :
\(\text A\text B = 6\) , \(\text A\text D = 5\) ,  \(\text D\text C = 9\) ,  \(\widehat{\text B\text A\text D}=90°\) et  \(\widehat{\text A\text D\text C}=90°\) .
Le produit scalaire \(\overrightarrow{\text A\text B}\cdot\overrightarrow{\text B\text C}\) vaut :

a. \(18\)                    b. \(-30\)                      c. \(30\)                           d. \(-18\)

Exercice 5

Soit \(\text A\text B\text C\) un triangle tel que \(\text A\text B = 3\) , \(\text B\text C= 6\)  et \(\text A\text C=4\) . 
    a. Calculer le produit scalaire  \(\overrightarrow{\text A\text B}\cdot\overrightarrow{\text A\text C}\) .
    b. En déduire une mesure, au dixième de degré, de l'angle \(\widehat{\text B\text A\text C}\) .
    c. Calculer les mesures, au dixième de degré, des deux autres angles du triangle \(\text A\text B\text C\) .

Exercice 6

Soit  \(\text A\text B\text C\text D\) un carré de côté \(4\) . Soit \(\text I\) le point du segment \([\text A\text B]\) tel que \(\overrightarrow{\text A\text I}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{\text A\text B}\) .
    a. Justifier que  \(\overrightarrow{\text I\text D}\cdot\overrightarrow{\text I\text C}=13\) .
    b. En déduire une mesure, au degré près, de l'angle \(\widehat{\text C\text I\text D}\) .