Produit scalaire dans le plan

Exercice 1

Soit $\text{A}\text{B}\text{C}$ un triangle équilatéral de côté de longueur $a$ .
Exprimer de deux manières différentes le produit scalaire $\overrightarrow{\text{A}\text{B}}\cdot \overrightarrow{\text{A}\text{C}}$ .

Exercice 2

On donne trois points $\text{A}$ , $\text{B}$ et $\text{C}$ du plan tels que $\text{A}\text{B}=5$ , $\text{A}\text{C}=6$ et  $\overrightarrow{\text{A}\text{B}}\cdot \overrightarrow{\text{A}\text{C}}=15$ .
Déterminer une mesure, au degré près, de l'angle $\widehat{\text{B}\text{A}\text{C}}$ .

Exercice 3

Soit $\text{A}\text{B}\text{C}\text{D}$ un losange dont les diagonales sont telles que  $\text{A}\text{C}=8$ cm et $\text{B}\text{D}=6$ cm.
Le produit scalaire $\overrightarrow{\text{A}\text{B}}\cdot \overrightarrow{\text{B}\text{D}}$ vaut :
a. $30$                     b. $-2$                      c. $-18$                    d. $7$

Exercice 4

Soit $\text{A}\text{B}\text{C}\text{D}$ un trapèze rectangle tel que :
$\text{A}\text{B}=6$ , $\text{A}\text{D}=5$ ,  $\text{D}\text{C}=9$ ,  $\widehat{\text{B}\text{A}\text{D}}=90°$ et  $\widehat{\text{A}\text{D}\text{C}}=90°$ .
Le produit scalaire $\overrightarrow{\text{A}\text{B}}\cdot \overrightarrow{\text{B}\text{C}}$ vaut :

a. $18$                    b. $-30$                      c. $30$                           d. $-18$

Exercice 5

Soit $\text{A}\text{B}\text{C}$ un triangle tel que $\text{A}\text{B}=3$ , $\text{B}\text{C}=6$  et $\text{A}\text{C}=4$ . 
    a. Calculer le produit scalaire  $\overrightarrow{\text{A}\text{B}}\cdot \overrightarrow{\text{A}\text{C}}$ .
    b. En déduire une mesure, au dixième de degré, de l'angle $\widehat{\text{B}\text{A}\text{C}}$ .
    c. Calculer les mesures, au dixième de degré, des deux autres angles du triangle $\text{A}\text{B}\text{C}$ .

Exercice 6

Soit  $\text{A}\text{B}\text{C}\text{D}$ un carré de côté $4$ . Soit $\text{I}$ le point du segment $[\text{A}\text{B}]$ tel que $\overrightarrow{\text{A}\text{I}}={\displaystyle \frac{3}{4}}\overrightarrow{\text{A}\text{B}}$ .
    a. Justifier que  $\overrightarrow{\text{I}\text{D}}\cdot \overrightarrow{\text{I}\text{C}}=13$ .
    b. En déduire une mesure, au degré près, de l'angle $\widehat{\text{C}\text{I}\text{D}}$ .